保險精算第二版習題及答案

1 保險精算（第二版） 第一章利息的基本概念 練 習 題 1已知 2a t at b， 如果在 0 時投資 100 元，能在時刻 5 積累到 180 元，試確定在時刻 5 投資 300 元，在時刻 8 的積累值。 0 1 5 2 5 1 . 80 . 8,1253 0 0 * 1 0 0 5 3 0 01803 0 0 * 1 0 0 3 0 0 * 1 0 0 8 6 4 5 0 81 8 0 1 8 0a a b 2 1假設 At10010t, 試確定1 3 5,,i i i。 1 3 5 1 0 3 2 5 4 0 . 1 , 0 . 0 8 3 3 , 0 . 0 7 1 4 0 2 4 A A A A A Ai i A 2假設 1 0 0 1 .1 ， 試 確 定 1 3 5,,i i i。 1 3 5 1 0 3 2 5 4 0 . 1 , 0 . 1 , 0 . 1 0 2 4 A A A A A Ai i A 3 已知投資 500 元， 3 年后得到 120 元的利息，試分別確定以相同的單利利率、復利利率投資 800 元在 5年后的積累值。 111321535 0 0 3 5 0 0 1 3 6 2 0 0 . 0 88 0 0 5 8 0 0 1 5 1 1 2 05 0 0 3 5 0 0 1 6 2 0 0 . 0 7 4 3 3 6 38 0 0 5 8 0 0 1 1 1 4 4 . 9 7a i i 4 已知某筆投資在 3 年后的積累值為 1000 元，第 1 年的利率為 1 10i ， 第 2 年的利率為2 8i ，第 3 年的利率為 3 6i ， 求該筆投資的原始金額。 1 2 3 3 1 0 0 0 0 1 1 1 0 7 9 4 . 1A A i i 5 確定 10000 元在第 3 年年末的積累值 2 1名義利率為每季度計息一次的年名義利率 6。 2名義貼現率為每 4 年計息一次的年名義貼現率 6。 4 1234141 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 1 1 1 9 5 6 . 1 841 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 1 1 1 7 5 0 . 0 814 6 設 m 1，按從大到小的次序排列 d i i 。 7 如果 t ， 求 10 000 元在 第 12 年年末的積累值。 、 120 0 . 7 21 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 5 4 4 . 3 3t e e 8 已知第 1 年的實際利率為 10，第 2 年的實際貼現率為 8，第 3 年的每季度計息的年名義利率為 6，第 4 年的每半年計息的年名義貼現率為 5，求一常數實際利率，使它等價于這 4 年的投資利率。 4 2 4 1 4 2121 1 1 1 1 421 1 6 9 5 6 5 2 2 * 1 1 3 6 3 5 5 1 * 1 . 0 5 0 6 2 5 1 . 3 3 3 2 6 5 8 5 80 . 7 4 5 5 6 3 3 6i 9 基金 A 以每月計息一次的年名義利率 12積累，基金 B 以利息強度6t t 積累，在時刻 t t0，兩筆基金存入的款項相同，試確定兩基金金額相 等的下一時刻。 20212112212 12 1 . 0 11 . 0 1 , 1 . 4 3 2 8 4 7 6 4 3t e 10. 基金 X 中的投資以利息強度 0 0 t 0 t 20, 基金 Y 中的投資以年實際利率 i 積累；現分別投資 1 元，則基金 X 和基金 Y 在第 20 年年末的積累值相等，求第 3 年年末基金 Y 的積累值。 20210 . 0 10 . 1220 . 0 1 * 2 00 . 1 * 2 020423 111 1 . 8 2 2 1t ia t e ei e 11. 某人 1999 年初借款 3 萬元，按每年計息 3 次的年名義利率 6投資，到 2004 年末的積累值為（ ）萬元。 A. B. C. D. 3 3 * 5 1 53 1 3 * 1 . 0 2 4 . 0 3 7 63i 3 萬元，每年計息兩次的名義利率為 6，甲第 2 年末還款 4000 元，則此次還款后所余本金部分為（ ）元 。 25 13 36 87 2 2 * 2 4 1 1 . 0 3 1 . 1 2 5 52i 第二章年金 練習題 1 證明 v i a a 。 11mn a a i v 2 某人購買一處住宅，價值 16 萬元，首期付款額為 A，余下的部分自下月起每月月初付 1000 元，共付10 年。年計息 12 次的年名義利率為 。計算購房首期付款額 A。 12012011 0 0 0 1 0 0 0 7 9 9 6 2 . 9 6 8 . 7 / 1 2 1 6 0 0 0 0 7 9 9 6 2 . 9 6 8 0 0 3 7 . 0 4 3. 已知7 , 11 , 18 , 計算 i 。 71 8 7 1 1110 . 0 8 2 9 9a a 4 某人從 50 歲時起，每年年初在銀行存入 5000 元，共存 10 年，自 60 歲起，每年年初從銀行提出一筆款作為生活費用，擬提取 10 年。年利率為 10，計算其每年生活費用。 101 0 1 01500011 2 9 6 8 . 7 1 2 3a x 5 年金 A 的給付情況是 1 10 年，每年年末給付 1000 元； 11 20 年，每年年末給付 2000 元； 21 30年，每年年末給付 1000 元。年金 B 在 1 10 年，每年給付額為 K 元； 11 20 年給付額為 0； 21 30 年，每年年末給付 K 元，若 A 與 B 的現值相等，已知 10 12v ，計算 K。 1 0 2 01 0 1 0 1 0201 0 1 0111 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0111800A a a a K 6 化簡 1 0 2 010 1a v v， 并解釋該式意義。 1 0 2 01 0 3 01a v v a 4 7. 某人計劃在第 5 年年末從銀行取出 17 000 元，這 5 年中他每半年末在銀行存入一筆款項，前 5 次存款每次為 1000 元，后 5 次存款每次為 2000 元，計算每年計息 2 次的年 名義利率。 5 1 055111 0 0 0 2 0 0 0 1 7 0 0 03 . 3 5 5 aa 8. 某期初付年金每次付款額為 1 元，共付 20 次，第 k 年的實際利率為 18 k，計算 V2。 1 1 2 1 1 91 1 1 2 11 1 1 1 1 9 9 911 0 1 1 2 8Vi i i i i 9. 某人壽保險的死亡給付受益人為三個子女，給付形式為永續年金，前兩個孩子第 1 到 n 年每年末平分所領取的年金， n 年后所有的年金只支付給第三個孩子，若三個孩子所領取的年金現值相等 ,那么 v A. 113nB. 13n C. 13n1211213v 11. 延期 5 年連續變化的年金共付款 6 年，在時刻 t 時的年付款率為 21t ,t 時刻的利息強度為 1/1t,該年金的現值為（ ） 01125 | 6 51125 | 6 5 1 1 1 1 11 1 5 41tt v t t d t t d 第三章生命表基礎 練習題 1 給出生存函數 22500 xs x e ，求 1人在 50 歲 60 歲之間死亡的概率。 250 歲的人在 60 歲以前死亡的概率。 3人能活到 70 歲的概率。 450 歲的人能活到 70 歲的概率。 5 1 0 5 02 0 5 0 5 0 6 0 5 0 6 0 5 0 6 0 5 0 7 0 7 0 70 5 0 P X s 2. 已知 5 T60 6 T60 5 60q。 5 | 6 0 5 6 0656 5 6 6 6 50 . 1 8 9 5 , 0 . 9 2 0 9 4 6 0 6 0 6 5 6 6 0 . 2 0 5 8 6 5 s s 3. 已知80 ，80 3129d ，求81l。 8 0 8 0 8 1808 0 8 00 . 0 7d l lq 4. 設某群體的初始人數為 3 000 人， 20 年 內的預期死亡人數為 240 人，第 21 年和第 22 年的死亡人數分別為 15 人和 18 人。求生存函數 sx在 20 歲、 21 歲和 22 歲的值。 1 2 0 1 2 1 1 2 20 0 0 2 0 0 . 9 2 , 2 1 0 . 9 1 5 , 2 2 0 . 9 0 9dd d d d ds s sl l l 5. 如果 221 1 0 0 x ,0 x 100, 求0l10 000 時，在該生命表中 1 歲到 4 歲之間的死亡人數為（ ）。 4 02221 1 0 001001 1 4 2 0 8 1 . 6 1xx xs x e s s 6. 已知 20 歲的生存人數為 1 000 人， 21 歲的生存人數為 998 人， 22 歲的生存人數為 992 人，則| 201 ）。 A. B. . D. 2 2 11 | 2 0200 . 0 0 6l 第四章 人壽保險的精算現值 練 習 題 6 1. 設生存函數為 11000 x 100，年利率 i 算 保險金額為 1 元 1躉繳純保費 13010的值。 2這一保險給付額在簽單時的現值隨機變量 Z 的方差 。 1 0 1 013 0 1 0 001 0 1 02 1 1 2 2 2 23 0 1 0 3 0 1 0 00 1 11 0 0 1 0 0110 . 0 9 21 . 1 7 011 0 . 0 9 2 0 . 0 9 2 0 . 0 5 51 . 2 1 7 0t x x x x x x tx s x ts x ps x xA v p d t d tV a r Z A A v p d t d t 2 設年齡為 35 歲的人，購買一張保險金額為 1 000 元的 5 年定期壽險保單，保險金于被保險人死 亡的保單年度末給付，年利率 i計算 1該保單的躉繳純保費。 2該保單自 35 歲 39 歲各年齡的自然保費之總額。 31與 2的結果為何不同為什么 （ 1）法一 411 3 5 3 6 3 7 3 8 3 923453 5 5 0 3511 0 0 0 1 . 0 6 1 . 0 6 1 . 0 6 1 . 0 6 1 . 0 6k k x x d d d dA v p 查生命表3 5 3 5 3 6 3 7 3 8 3 99 7 9 7 3 8 , 1 1 7 0 , 1 2 4 8 , 1 3 3 6 , 1 4 3 7 , 1 5 4 9l d d d d d 代入計算 411 3 5 3 6 3 7 3 8 3 923453 5 5 0 3511 0 0 0 5 . 7 4 71 . 0 6 1 . 0 6 1 . 0 6 1 . 0 6 1 . 0 6k k x x d d d dA v p 法二1 3 5 4 03 5 5351 0 0 0 1 0 0 0 查換算表1 3 5 4 03 5 5351 3 5 9 0 . 2 2 1 2 8 5 7 . 6 11 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 5 . 7 4 71 2 7 4 6 9 . 0 3 （ 2）1 3535 3 5 1351 3636 3 6 1361 3737 3 7 1371 3838 3 8 1381 4 3 . 5 81 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 . 1 2 61 2 7 4 6 9 . 0 31 4 4 . 4 71 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 . 2 0 31 2 0 1 1 0 . 2 21 4 5 . 9 41 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 . 2 91 1 3 1 6 7 . 0 61 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 3939 3 9 1393 5 3 6 3 7 3 8 3 91 4 8 . 0 50 1 . 3 8 91 0 6 6 1 5 . 4 31 5 0 . 5 51 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 . 4 9 91 0 0 4 3 2 . 5 41 0 0 0 6 . 4 5 7p p p p 7 （ 3） 1 1 1 2 1 3 1 4 13 5 2 3 5 3 3 5 4 3 53 5 5 3 5 1 3 6 1 3 7 1 3 8 1 3 9 113 5 3 6 3 7 3 8 3 93 5 5A A v p A v p A v p A v p AA p p p p p 3. 設 A, 20 A, 20 A, 試計算 （ 1） 120 （ 2） 110改為求 120 120 2 0 2 01 1 2 0 2 0 2 01 1 2 0 2 01 1 2 0 2 01 2 01 2 00 . 2 5 0 . 40 . 5 50 . 0 50 . 5x A 4 試證在 設條件下 1 1 1 xn 2 11xx n n x 5 x購買了一份 2 年定期壽險保險單，據保單規定，若 x在保險期限內發生保險責任范圍內的死亡，則在死亡年末可得保險金 1 元， 0 . 5 , 0 , 0 . 1 7 7 1xq i V a r z ，試 求1 6 已知 ，7 6 7 6 7 7 7 70 . 8 , 4 0 0 , 3 6 0 , 0 . 0 3 ,D D i 求 7 現年 30 歲的人，付躉繳純保費 5 000 元，購買一張 20 年定期壽險保單，保險金于被保險人死亡時所處保單年度末支付，試求該保單的保險金額。 解113 0 2 03 0 2 050005000 R A 其中 191 1 1 13 0 3 03 0 3 0 3 03 0 2 00 0 03 0 3 0 3 03 0 3 1 3 2 4 92 3 2 0303 0 5 03011 1 1 1 1 1 . 0 6 1 . 0 6 1 . 0 6 1 . 0 6 k k k kk k v p q v v dl l ld d d 查（ 2000性或者女性非養老金業務生命表中數據3 0 3 0 3 1 3 2 4 9, , ,l d d d d帶入計算即可，或者 i2000性或者女性非養老金業務生命表換算表3 0 5 0 3 0,,M M 例查（ 2000性非養老金業務生命表中數據 8 12 3 2 03 0 2 01 1 1 1 1 8 6 7 9 1 7 9 7 7 3 1 4 4 9 8 4 6 3 5 1 . 0 6 1 . 0 6 1 . 0 6 1 . 0 6 0 7 7 8 5 5 9 62 8 1 1 2 6 . 3 7 2 7 8 考慮在被保險人死亡時的那個 1 個單位的終身壽險，設 k 是自保單生效起存活的完整年數， j 是死亡那年存活的完整 1 1 求該保險的躉繳純保費 2 設每一年齡內的死亡服從均勻分布，證明 A 。 9 現年 35 歲的人購買了一份 終身壽險保單，保單規定被保險人在 10 年內死亡，給付金額為 15 000元； 10 年后死亡，給付金額為 20 000 元。試求躉繳純保費。 躉交純保費為 111 0 | 3 53 5 1 01 5 0 0 0 2 0 0 0 0中 991 1 1 13 5 3 53 5 3 5 3 53 5 1 00 0 03 5 3 5 3 53 5 3 6 3 7 4 42 3 1 0353 5 4 53511 1 1 1 1 1 . 0 6 1 . 0 6 1 . 0 6 1 . 0 6 1 3 5 9 0 . 2 2 1 2 0 7 7 . 3 10 1 8 71 2 7 4 6 9 . 0 3k k k kk k v p q v v dl l ld d d 7 0 7 0 7 01 1 1 13 5 3 51 0 | 3 5 3 5 3 5 3 51 0 1 0 1 03 5 3 5 3 54 5 4 6 4 7 1 0 51 1 1 2 1 3 7 135453511 1 1 1 1 1 . 0 6 1 . 0 6 1 . 0 6 1 . 0 6 1 2 0 7 7 . 3 10 4 7 51 2 7 4 6 9 . 0 3k k k kk k v p q v v dl l ld d d 所以躉交純保費為 111 0 | 3 53 5 1 01 5 0 0 0 2 0 0 0 0 1 7 8 . 0 5 1 8 9 5 2 0 7 3 . 0 5 10 年齡為 40 歲的人，以現金 10 000 元購買一 份 壽險保單。保單規定被保險人在 5 年內死亡，則在其死亡的年末給付金額 30 00 元；如在 5 年后死亡，則在其死亡的年末給付數額 R 元。試求 R 值。 11 設年齡為 50 歲的人購買一 份 壽險保單，保單規定被保險人在 70 歲以前死亡，給付數額為 3 000元；如至 70 歲時仍生存，給付金額為 1 500 元。試求該壽險保單的躉繳純保費。 該躉交純保費為 1 15 0 2 0 5 0 2 03 0 0 0 1 5 0 0中 9 1 9 1 9 1 91 1 1 15 0 5 05 0 5 0 5 05 0 2 00 0 05 0 5 0 5 05 0 5 1 5 2 6 92 3 2 0 0505 0 7 05011 1 1 1 1 1 . 0 6 1 . 0 6 1 . 0 6 1 . 0 6 k k k kk k v p q v v dl l ld d d 1 7 0 7 0 707 0 5 05 0 2 0507050lA v p 查生命表或者相應的換算表帶入計算即可。 12 設某 30 歲的人購買一份壽險保單，該保單規定若 30在第一個保單年計劃內死亡，則在其死亡的保單年度末給付 5000 元，此后保額每年增加 1000 元。求此遞增終身壽險的躉繳純保費。 該躉交純保費為3 0 3 03 0 3 03 0 3 04 0 0 0 1 0 0 0 4 0 0 0 1 0 0 0 A 其中 7 5 7 5 7 51 1 13 0 3 03 0 3 0 3 0 3 00 0 03 0 3 0 3 03 0 3 1 3 2 1 0 52 3 7 630303011 1 1 1 1 1 . 0 6 1 . 0 6 1 . 0 6 1 . 0 6 k k k kk k v p q v v dl l ld d d 7 5 7 5 7 51 1 13 0 3 03 0 3 0 3 0 3 00 0 03 0 3 0 3 03 0 3 1 3 2 1 0 52 3 7 63030301 1 1 1 1 1 2 3 7 6 1 . 0 6 1 . 0 6 1 . 0 6 1 . 0 6 k k k kk k k v p q k v k v dl l ld d d 查生命表或者相應的換算表帶入計算即可。 13 某一年齡支付下列保費將獲得一個 n 年期儲蓄壽險保單 11 000 元儲蓄壽險且死亡時返還躉繳純保費，這個保險的躉繳純保費為 750 元。 21 000 元儲蓄壽險，被保險人生存 n 年時給付保險金額的 2 倍，死亡時返還躉繳純保費，這個保險的躉繳純保費為 800 元。 若現有 1 700 元儲蓄壽險，無保費返還且死亡時無雙倍保障，死亡給付均發生在死亡年末，求這個保險的躉繳純保費。 10 解保單 1精算式為 1 1 1 1 0 0 0 7 5 0 1 7 5 0 1 0 0 0 7 5 0 x n x n x n x A A 保單 2精算式為 1 1 1 1 1 0 0 0 8 0 0 1 0 0 0 1 8 0 0 2 0 0 0 8 0 0 x n x n x n x n x A A A 求解得 1 17 / 1 7 , 1 / 3 4x n x ，即 1 1 1 7 0 0 1 7 0 0 1 7 0 0 7 5 0 x n x n x A 14 設年齡為 30 歲者購買一死亡年末給付的終身壽險保單，依保單規定被保險人在第一個保單年度內死亡，則給 付 10 000 元；在第二個保單年度內死亡，則給付 9700 元；在第三個保單年度內死亡，則給付 9400元；每年遞減 300 元，直至減到 4000 元為止，以后即維持此定額。試求其躉繳純保費。 15. 某人在 40 歲投保的終身死亡險，在死亡后立即給付 1 元保險金。其中，給定 110,0 x 110。利息力 Z 表示保險人給付額的現值，則密度 ） A. B. C. D. Z v t v 1 701 1 / 1 2 7 0 l n 7 0 7 0 . 8 0 . 3 6t x x x tf t pS x z f g z g zv z 16. 已知在每一年齡年 設成立，表示式 I A. 2i B. 21 i C. 11d D. 1解 1010 1 1 1 1 1 1 v E T I A E S v E vs v d vE v dv d s 11 17. 在 x 歲投保的一年期兩全保險，在個體（ x）死亡的保單年度末給付 b 元，生存保險金為 e 元。保險人給付額現值記為 Z, 則 A. 22q v b eB. 22q v b eC. 2 2 2q v b eD. 2 2 2b q e p解 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2222 2 2 2 2 2 2 , , x x x x b v q P Z e v b v q P Z e v b v q e v b v q e v pV a r Z E Z E Z b v q e v p b v q e v p v q p b e 第五章年金的精算現值 練 習 題 1 設隨機變量 T Tx的概率密度函數為 0 . 0 1 5 0 . 0 1 5 tf t e t 0，利息強度為 試計算精算現值 。 0 . 0 5 0 . 0 1 50011 0 . 0 1 5 1 5 . 3 80 . 0 5tt f t d t e d t 2 設 10 , 2 , 50a 。試求（ 1） ；（ 2） 2222 2 2 22221 1 1 01 2 1 1 4 . 7 511 5 0 0 . 0 3 50 . 6 50 . 4 8 3 7 5x x a A AV a r a A A A 3 某人現 年 50 歲，以 10000 元購買于 51 歲開始給付的終身生存年金，試求其每年所得年金額。 12 4 某人現年 23 歲，約定于 36 年內每年年初繳付 2 000 元給某人壽保險公司，如中途死亡，即行停止，所繳付款額也不退還。而當此人活到 60 歲時，人壽保險公司便開始給付第一次年金，直至死亡為止。試求此人每次所獲得的年金額。 解2 3 3 63 7 | 2 32 3 3 6 3 7 | 2 320002000 a 其中 3 5 3 5 3 5232 3 2 32 3 3 60 0 02 3 2 32 3 2 4 2 5 2 6 5 82 3 3 5232 3 5 923373 7 | 2 3 2 3 3 7 2 3 6 0 3 7 2 3 6 02 3 3 711 1 1 1 1 1 . 0 6 1 . 0 6 1 . 0 6 1 . 0 6 k k k v p v v l l l a a v p a E a 8 2 8 2 8 2232 3 2 33 7 3 7 3 72 3 2 36 0 6 0 6 2 6 3 1 0 52 3 5 523602311 1 1 1 1 1 . 0 6 1 . 0 6 1 . 0 6 1 . 0 6 k k k p v v l l l 查生命表或者相應的換算表帶入計算即可。 習題 5 將 參考課本 年 35 歲的人購買如下生存年金，且均于每月初給付，每次給付 1000 元，設年利率 i6，求下列年金的精算現值。 （ 1） 終身生存年金。 1 2 3 5 3 51 0 0 0 * 1 2 1 2 0 0 0 1 2 1 2 其中 12 1 2 1 2 12 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 . 0 5 6 6 0 3 7 7 411 1 0 . 0 5 8 4 1 0 6 0 6121 1 0 . 0 5 8 1 2 7 6 6 7121 2 1 . 0 0 0 2 8 1 0 3 3 , 1 2 0 . 4 6 8 1 1 9 7 5d i ii d i d 13 7 1 7 1 7 1353 5 3 5 2 30 0 03 5 2 33 5 3 6 3 7 3 8 1 0 52 3 7 035353511 1 1 1 1 1 . 0 6 1 . 0 6 1 . 0 6 1 . 0 6 k k k v p v v l l l 若查 90生命表換算表則 3535351985692 1 5 . 6 9 5 4 5 81 2 6 5 1 3 . 8 5 某人現年 55 歲，在人壽保險公司購有終身生存年金，每月末給付年金額 250 元，試在 設 和利率6下，計算其精算現值。 解 1 2 1 2 5 5 5 5 5 5112 5 0 * 1 2 2 5 0 * 1 2 2 5 0 * 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2a a a 其中 12 1 2 1 2 12 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 . 0 5 6 6 0 3 7 7 411 1 0 . 0 5 8 4 1 0 6 0 6121 1 0 . 0 5 8 1 2 7 6 6 7121 2 1 . 0 0 0 2 8 1 0 3 3 , 1 2 0 . 4 6 8 1 1 9 7 5d i ii d i d 7 1 7 1 7 1355 5 5 5 2 30 0 03 5 2 33 5 3 6 3 7 3 8 1 0 52 3 7 035